我在本章讨论的是数，并不是由数本身的缘故，是因它与希腊哲有关系——有着一（尤其是在柏拉图的思）非常密切的关系。希腊人的卓越表现在数文方面的，比在任何别的东西面更明显。希腊人在艺术、文哲方面的就，其是是坏依据人的口味评判；但是他在几何的就却是无疑问的。他从埃及了一些东西，从巴比伦那的则很少；且他从些源所获的东西，在数方面主是粗糙的经验，在文方面则是其非常悠久的观察记录。数的证明方法，则几乎是完全源希腊。
有许非常有趣的故——或许并有历史真实——表明，是哪些实际问题刺激了数的研究。最早的最简单的故是关泰勒斯的，传说他在埃及的候国王曾他求一金字塔的高度。他等太阳照他己影子的长度与他的身高相等的候，就测量金字塔的影子；影子就等金字塔的高度。据说透视定律最初是几何阿加塔库斯了给伊斯奇鲁斯的戏剧画布景加研究的。传说是被泰勒斯所研究的求一船在海的距离的问题，在很早的阶段就已经很正确解决了。希腊几何所关的问题一，即一立方体增加一倍的问题，据说是源某处神殿的祭司；神谕告诉他说，神的一座雕象比他原有的那座一倍。最初他是原象的尺寸增加一倍，但是他才认识结果就比原象八倍，比神所求的更费钱。是他就派遣一使者见柏拉图，请教他的园有有人解决问题。几何接受了问题，钻研了许世纪，并且附带产生了许惊叹的果。问题就是求2的立方根的问题。
2的平方根是一有待现的无理数，一无理数是早期的毕达哥拉斯派就已经知了的，并且现巧妙的方法求它的近似值。最的方法：假设有两列数字，我称a列b列；每一列从1始，每一步的a是由已经的最的ab相加；一b则是由两倍的前一a再加前一b构。所的最初6数目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。在每一数目，2a2-b2是1或者是－1。是b/a就差不是2的平方根，且每一步越与接近。例，读者将满意见，99B70的平方是非常接近与2相等的。
普洛克鲁斯描述毕达哥拉斯——此人永远是颇蒙胧的人物——乃是一几何一艺的人。许权威者，包括汤姆斯.希斯爵士在内，相信华达哥拉斯或许曾见那他的名字命名的定理；那定理是说在一直角三角形中，弦的平方等两夹边的平方。无论何，定理是在很早的期就被毕达哥拉斯派所知了的。他知三角形的内角等两直角。
除了2的平方根外，其他的无理数在特殊的例子曾被与苏格拉底同代的狄奥罗斯研究，并且曾更普遍的方式被与柏拉图致同稍早的泰阿泰德研究。德谟克特写一片关无理数的论文，但是文章的内容我已不知了。柏拉图题目是深感兴趣的；他在“；泰阿泰德”命名的那篇话提了狄奥罗斯泰阿泰德的品。在《法律篇》中，他说一般人题目的愚昧无知是很不光彩的，并且暗示着他己始知它是很晚的情。它毕达哥拉斯派的哲有着重的关系。
见了无理数的最重的果一就是攸克索（约公元前408-355年）明关比例的几何理论。在他前，有关比例的算数理论。按照理论，果a乘d等b乘c，则a比b就等c比d。界说，在有有关无理数的几何理论，就应有理数。攸克索提了一不受限制的新界说，其构造的方式暗示了近代的分析方法。一理论在欧几德的书了展，并具有极的逻辑。
攸克索明了或者是完了“穷尽法”，它被阿几米德运非常功。方法是积分的一预见。譬，我举圆的面积问题例。你内接一圆一正六边形，或一正十二边形，或者一正一千边或一百万边的边形。一边形，无论它有少边，其面积是与圆的直径的平方比例的。边形的边越，则它就越接近与圆相等。你证明，你使一边形有足够的边，就使它的面积与圆面积差任何预先指定的面积，无论一预先指定的面积是。了目的，就引了“阿几米德公理”。一公理（少加简化）是说：假设有两数量，较的一平分两半，一半再平分两半，此继续，则最就一数量原的两数量中较的那一。换句话说，果ab，则必有某一整数n使2n乘ba。
穷尽法有候精确的结果，例阿几米德所做的求抛物线形的面积；有候则不断的近似，例我试图求圆的面积的候。求圆的面积的问题就是决定圆周与直径的比率问题，比率叫pi；。阿几米德在计算中使了22/7的近似值，他做了内接的与外切的正96边形，从证明了pi；3又1/7并3又10/71。方法继续进行任何所需的近似程度，并且就是任何方法在问题所尽的一切了。使内接的与外切边形求pi；的近似值，应该溯苏格拉底同代的人安提丰。
欧几德——我年青的候，它是唯一被公认的童几何教科书——约公元前300年，即亚历山亚士德死不久的几年，生活亚历山港。他的《几何原本》绝部分并不是他的创见，但是命题的次序与逻辑的结构则绝部分是他的。一人越是研究几何，就越它是值赞叹。他有名的品行定理处理品行线的办法，具有着双重的优点；演绎既是有力的，又并不隐饰原始假设的疑。比例的理论是继承攸克索的，其运的方法本质类似魏尔斯特拉斯所介绍给十九世纪的分析数的方法，是就避免了有关无理数的困难。欧几德就渡一几何代数，并在十卷中探讨了无理数题目。在他就接着讨论立体几何，并求正面体的问题告结束，问题是被泰阿泰德所完的并曾在柏拉图的《蒂迈欧篇》被提。
欧几德的《几何原本》毫无疑义是古往今最伟的著一，是希腊理智最完的纪念碑一。他具有典型的希腊局限：他的方法纯粹是演绎的，并且其中有任何验证基本假设的方法。些假设被他认是毫无问题的，但是了十九世纪，非欧几何便指明了它有些部分是.0错误的，并且有凭观察才决定它是不是错误。
欧几德几何是鄙视实价值的，一点早就被柏拉图所谆谆教诲。据说有一生听了一段证明便问，几何够有什处，是欧几德就叫进一奴隶说：“拿三分钱给青年，因他一定从他所的东西处。”鄙视实却实主义被证明了是有理的。在希腊代有一人象圆锥曲线是有任何处的；最了十七世纪伽利略才现抛体是沿着抛物线运动的，普勒则现行星是椭圆运动的。是，希腊人由纯粹爱理论所做的工，就一子变了解决战术与文的一钥匙了。
罗马人的头脑太实际不欣赏欧几德；一提欧几德的罗马人是西赛罗，在他那候欧几德或许有拉丁文的译本；并且在鲍依修斯（约公元480年）前，确乎是并有任何关拉丁文译本的记.载.。阿拉伯人却更欣赏欧几德；约在公元760年，拜占庭皇帝曾送给回教哈一部欧几德；约在公元800年，哈伦.阿尔.拉西德在位的候，欧几德就有了阿拉伯文的译文了。现在最早的拉丁文译本是巴斯的阿戴拉德公元1120年从阿拉伯文译的。从，几何的研究就逐渐在西方复活；但是一直文艺复兴的晚期才做了重的进步。
我现在就谈文，希腊人在方面的就正象在几何方面是一引人注目。在希腊前，巴比伦人埃及人许世纪的观察已经奠定了一基础。他记录了行星的视动，但是他并不知晨星昏星就是一。巴比伦无疑，且埃及，已经现了蚀的周期，就使人相靠预言月蚀，但是并不预言日蚀；因日蚀在同一点并不是总
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